Хат Мохнатович Мухохват написал(а):... Мне думается что математика никогда не была ...тождественна физике. ...
-
Думал ответить своими словами, а итоге опять цитата. Прочитайте/перечитайте всё, не пожалеете. Оченно даже прочищает моск :
-
E. Вигнер, "ЭТЮДЫ О СИММЕТРИИ", 1970.
-
НЕПОСТИЖИМАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ МАТЕМАТИКИ В ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУКАХ
-
Доклад прочитан 11 мая 1959 г. в Нью-Йоркском университете на Курантовских математических лекциях. Опубликован в журнале: Comm. Pure and Appl. Math., 13, 1 (1960).
-
http://www.ega-math.narod.ru/Reid/Wigner.htm#ch13a
-
............................................
РОЛЬ МАТЕМАТИКИ В ФИЗИЧЕСКИХ ТЕОРИЯХ
-
Освежив в памяти наиболее существенные черты математики и физики, мы можем теперь лучше разобраться в той роли, которую математика играет в физических теориях.
В своей повседневной работе физик использует математику для получения результатов, вытекающих из законов природы, и для проверки применимости условных утверждений этих законов к наиболее часто встречающимся или интересующим его конкретным обстоятельствам. Чтобы это было возможным, законы природы должны формулироваться на математическом языке.
-
Однако получение результатов на основе уже существующих теорий — отнюдь не самая важная роль математики в физике. Исполняя эту функцию, математика, или, точнее, прикладная математика, является не столько хозяином положения, сколько средством для достижения определённой цели.
-
Математике, однако, отводится в физике и другая, более «суверенная» роль. Суть её содержится в утверждении, сделанном нами при обсуждении роли прикладной математики: чтобы стать объектом применения прикладной математики, законы природы должны формулироваться на языке математики.
-
Утверждение о том, что природа выражает свои законы на языке математики, по существу было высказано 300 лет назад 11. В наши дни оно верно более чем когда-либо. Чтобы продемонстрировать всю важность использования математических понятий при формулировке законов физики, достаточно вспомнить, например, аксиомы квантовой механики, сформулированные в явном виде великим математиком фон Нейманом [14] и в неявном виде великим физиком Дираком [13].
-
В основу квантовой механики положены два понятия: понятие состояний и понятие наблюдаемых. Состояния — это векторы в гильбертовом пространстве; наблюдаемые — самосопряжённые операторы, действующие на векторы состояния. Возможные значения наблюдаемых определяются собственными значениями этих операторов и т.д., но мы предпочитаем остановиться на этом и не перечислять математических понятий, развитых в теории линейных операторов.
-
Разумеется, для формулировки законов природы физики отбирают лишь некоторые математические понятия, используя, таким образом, лишь небольшую долю всех имеющихся в математике понятий. Правда, понятия выбираются из длинного списка математических понятий не произвольно: во многих, если не в большинстве, случаях необходимые понятия были независимо развиты физиками, и лишь впоследствии было установлено их тождество с понятиями, уже известными математикам.
-
Однако утверждать, как это нередко приходится слышать, будто так происходит потому, что математики используют лишь простейшие из возможных понятий, а последние встречаются в любом формализме, было бы неверно. Как мы уже видели, математические понятия вводятся не из-за их логической простоты (даже последовательности пар чисел — понятия далеко не простые), а потому, что они особенно легко поддаются тонким логическим операциям и облегчают проведение глубоких и блестящих рассуждений.
-
Не следует забывать, что гильбертово пространство квантовой механики — это комплексное гильбертово пространство с эрмитовым скалярным произведением. Для неподготовленного ума понятие комплексного числа далеко не естественно, не просто и никак не следует из физических наблюдений. Тем не менее использование комплексных чисел в квантовой механике отнюдь не является вычислительным трюком прикладной математики, а становится почти необходимым при формулировке законов квантовой механики. Кроме того, по-видимому, не только комплексным числам, но и так называемым аналитическим функциям суждено сыграть решающую роль в формулировке квантовой теории. Я имею в виду быстро развивающуюся теорию дисперсных соотношений.
Невольно создается впечатление, что чудо, с которым мы сталкиваемся здесь, не менее удивительно, чем чудо, состоящее в способности человеческого разума нанизывать один за другим тысячи аргументов, не впадая при этом в противоречие, или два других чуда — существование законов природы и человеческого разума, способного раскрыть их.
-
Из всего, что мне известно, больше всего похоже на объяснение плодотворности использования математических понятий в физике замечание Эйнштейна: «Мы с готовностью воспринимаем лишь те физические теории, которые обладают изяществом». Может показаться спорным, что понятия математики, постижение которых требует напряжённой работы мысли, обладают изяществом.
-
Замечание Эйнштейна в лучшем случае отражает определённые особенности теории, в которую мы готовы поверить, и не затрагивает внутренней непротиворечивости теории. Рассмотрению последней проблемы посвящается следующий раздел нашего доклада
.......................
Отредактировано FD (05-11-2012 02:47)
