Вывод релятивистской формулы сложения скоростей через эффект Допплера
с точки зрения классической физики и концепции эфира.
(реальное название темы получилось чуть длиннее.)
.
Т.к. количество вопросов по критике СТО плодится и плодится, я решил этот вопрос рассмотреть
в оттдельной теме.
Итак картинка.
Представим что в ИСО1 есть допплеровский радар (неподвижный в ИСО1),
который излучает в сторону ИСО2. А в ИСО2 есть уголковый отражатель
(неподвижный в ИСО2).
Рассуждаем сточки зрения ИСО0.
Радар излучает сигнал с частотой f1. Сигнал уходит с длинной волны
c-v1
λ1 = ----- ;
f1
где с - скорость волны в среде (эфире, ИСО0).
Сигнал принимается уголковым отрежателем с частотой
c-v2
f2 = ----- ;
λ1
И переизлучается обратно с той же частотой. Сигнал уходит
с длинной волны
c+v2
λ2 = ----- ;
f2
Летит обратно и принимается радаром на частоте
c+v1
f1` = ----- ;
λ2
По отношению частот мы можем судить об относительной скорости
систем ИСО1 и ИСО2. Путем последовательных подстановок получаем.
f1` (c-v2)(c+v1)
--- = ----------------; (1)
f1 (c+v2)(c-v1)
.
С другой стороны оператор радара в ИСО1 считает, что все измерения
скорости света в этой ИСО дают все равно "с". И значит можно считать,
что ИСО1 неподвижна а уголковый отражатель удаляется с некоторой
скоростью v12. Измерим эту скорость из ИСО1, считая что скорость
распространения сигнала будет все рано "с".
Подставляя в (1) v2=v12; и v1=0; (формула получится та же), мы
получаем что :
f1` (c-v12)
--- = --------; (2)
f1 (c+v12)
.
Заметим, что (1) описывает реальную картину со скоростями.
А соотношение (2) это формула по которой оператор в ИСО1
будет вычислять скорость. А радар всего лишь покажет
f1`
--- ;
f1
И ничего более. Вычислим, как же зависит кажущаяся скорость v12
от реальных v1 и v2. Для этого приравняем (1) и (2).
(c-v2)(c+v1) (c-v12)
--------------- = --------; (3)
(c+v2)(c-v1) (c+v12)
.
Далее разрешим уравнение относительно кажущейся скорости v12.
Тут идет зубодробительная алгебра. Можно в принципе пропустить.
Для некоторого упрощения перейдем к относительным скоростям
поделив все на "с" и обозначим относительные скорости теми
же символами. v/c -> v;
.
Раскрываем левый числитель.
(1-v2)(1+v1) 1-v12 1+v1-v2-v1v2 1-v12
---------------- = -------- (3); ------------------- = ---------- ;
(1+v2)(1-v1) 1+v12 (1+v2)(1-v1) 1+v12
.
Переносим правый знаменатель.
(1+v12)(1+v1-v2-v1v2)
--------------------------- = 1-v12;
(1+v2)(1-v1)
.
Раскрываем числитель.
1+v1-v2-v1v2+v12+v1v12-v2v12-v1v2v12
------------------------------------------------ = 1-v12;
(1+v2)(1-v1)
.
Переносим так, чтобы оставить v12 в одиночестве.
1+v1-v2-v1v2+v12+v1v12-v2v12-v1v2v12
1- ------------------------------------------------ = v12;
(1+v2)(1-v1)
.
Приводим к общему знаменателю.
(1+v2)(1-v1) -1-v1+v2+v1v2-v12-v1v12+v2v12+v1v2v12
----------------------------------------------------------------- = v12;
(1+v2)(1-v1)
.
Раскрываем в числителе скобки.
1-v1+v2-v1v2 -1-v1+v2+v1v2-v12-v1v12+v2v12+v1v2v12
------------------------------------------------------------------- = v12;
(1+v2)(1-v1)
.
Сокращаем.
- 2v1+2v2-v12-v1v12+v2v12+v1v2v12
-------------------------------------------- = v12;
(1+v2)(1-v1)
.
Разделяем левую часть на те составляющие где есть v12
и где ее нет.
- 2v1+2v2 -v12-v1v12+v2v12+v1v2v12
--------------- + ---------------------------------- = v12;
(1+v2)(1-v1) (1+v2)(1-v1)
.
Переносим дробь с v12 вправо.
- 2v1+2v2 -v12-v1v12+v2v12+v1v2v12
--------------- = v12 - ---------------------------------;
(1+v2)(1-v1) (1+v2)(1-v1)
.
Меняем справа знак перед дробью и приводим правую часть
к одному знаменателю.
- 2v1+2v2 v12+v1v12-v2v12-v1v2v12
--------------- = v12 + --------------------------------;
(1+v2)(1-v1) (1+v2)(1-v1)
.
- 2v1+2v2 v12(1+v2)(1-v1) + v12+v1v12-v2v12-v1v2v12
--------------- = -----------------------------------------------------;
(1+v2)(1-v1) (1+v2)(1-v1)
.
Раскрываем справа скобки. С лева переставляем слагаемые.
2v2-2v1 v12(1+v2-v1-v1v2) + v12+v1v12-v2v12-v1v2v12
-------------- = --------------------------------------------------------;
(1+v2)(1-v1) (1+v2)(1-v1)
.
2v2-2v1 v12+v2v12-v1v12-v1v2v12 + v12+v1v12-v2v12-v1v2v12
-------------- = -----------------------------------------------------------------;
(1+v2)(1-v1) (1+v2)(1-v1)
.
Сокращаем.
2v2-2v1 v12-v1v2v12 + v12-v1v2v12
-------------- = ---------------------------------;
(1+v2)(1-v1) (1+v2)(1-v1)
.
Отбрасываем одинаковые знаменатели справа и слева.
2v2-2v1=v12-v1v2v12 + v12-v1v2v12;
.
Упрощаем.
2(v2-v1)=2(v12-v1v2v12);
.
v2-v1=v12-v1v2v12;
.
v2-v1=v12 (1-v1v2);
.
Получили релятивистскую формулу "сложения скоростей"
в относительных скоростях.
v2-v1
--------- = v12; (4)
1-v1v2
.
Перейдем к абсолютным скоростям.
v2 v1
--- - ----
c c v12
------------ = -----;
v1v2 c
1- --------
c*c
.
.
v2 v1
--- - ----
c c
c ------------- = v12;
v1v2
1- --------
c*c
.
Канонический вид. Что и требовалось доказать.
v2 - v1
---------------- = v12; (5)
1 - v1v2/(c*c)
Таким образом, если принять концепцию эфира и
исходить строго из соображений классической физики,
то скорость v12 это то, что "подумает" оператор радара
глядя на прибор.
Заметте. ПЛ при выводе не использовалось ни разу.
Я то считаю что внутри ИСО ничего узнать нельзя.
Ну ты "фрукт"!
